Задача 1: Можно ли расположить по кругу 2¹⁹⁹⁵ букв А и Б так, чтобы любое слово длины 1995 можно было прочитать, двигаясь по ходу часовой стрелки (без пропусков)?

Задача 2: Докажите конечность множества натуральных чисел n, делящихся нацело на все натуральные числа, не превосходящие .

Задача 3: Внутри треугольника ABC взята точка M. Докажите неравенство:

Задача 4: Многочлен P(x) = xⁿ + x^n – 1 +  …  + x + 1 разложен в произведение двух многочленов, коэффициенты при старших степенях которых равны 1, а все остальные коэффициенты неотрицательны. Докажите, что все коэффициенты этих многочленов равны 0 или 1.

Задача 5: При каких n ≥ 4 существует выпуклый n-угольник, каждая диагональ которого перпендикулярна некоторой его стороне?

Задача 6: Уравнение x³ + ax² + bx + c = 0 имеет три различных действительных корня. Докажите, что разность между наибольшим и наименьшим из его корней не меньше .

Задача 7: Сфера окрашена в два цвета. Докажите, что найдутся три точки одного цвета, являющиеся вершинами правильного треугольника.

Задача 8: Дано 1995 множеств, причем каждое из них содержит 45 элементов и любые два имеют ровно один общий элемент. Докажите, что все эти множества имеют общий элемент.

Задача 9: На доске в строчку написаны 12 звездочек. Два игрока по очереди заменяют любую звездочку произвольной ненулевой цифрой. Второй игрок выигрывает, если число, получившееся после 12 ходов, делится на 13, и проигрывает в противном случае. Кто выигрывает при правильной игре?

Задача 10: Дан остроугольный треугольник ABC. Биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке L, а описанную окружность треугольника ABC – в точке N. Точки K и M – основания перпендикуляров, опущенных из L на AB и AC соответственно. Докажите, что площадь четырехугольника AKNM равна площади треугольника ABC.