Задача 1: Докажите, что уравнение x² + y² + z² + 3(x + y + z) + 5 = 0 не имеет решений в рациональных числах.

Задача 2: В треугольнике ABC проведены медианы BD, AK и CE, которые пересекаются в точке M. Известно, что . Докажите, что окружности, описанные около треугольников ABM и CBM, касаются прямой AC.

Задача 3: Можно ли прямоугольник 4 × 1,5 разрезать на 2 части, которыми оборачивается единичный куб?

Задача 4: Какое наибольшее число равных по модулю коэффициентов может иметь кубический многочлен, корнями которого являются три различных целых числа?

Задача 5: Имеется три внешне одинаково выглядящие монеты, одна из которых фальшивая, причем неизвестно, легче она или тяжелее настоящей. Можно ли за три взвешивания на чашечных весах без гирь узнать, отрегулированы весы или нет? (У неотрегулированных весов при взвешивании одна из чашек всегда «завышает» вес.)

Задача 6: Площадь треугольника с вершинами в узлах целочисленной решетки равна ½. Может ли наименьшая из его сторон быть больше 2000?

Задача 7: Шахматная доска 8 × 8 клеток разбита на 32 прямоугольника размера 2 × 1 каждый. Два прямоугольника назовем «соседними», если они имеют более чем одну общую точку. Двое играют на этой доске в следующую игру. В левом нижнем углу стоит фишка первого игрока, в левом верхнем – второго. Игроки ходят по очереди. Начинает первый. Ход заключается в переставлении своей фишки на соседний прямоугольник. Выигрывает тот игрок, который первым доберется до противоположного угла доски. Существует ли такое разбиение доски, при котором при правильной игре обоих игроков выигрывает второй? (Во время игры обе фишки могут оказаться в одном прямоугольнике) .

Задача 8: Пусть a₁, a₂, …, a_n – такие натуральные числа, что всевозможные их суммы (по одному, по два, …, по n (всего 2ⁿ – 1 сумм) попарно различны. Докажите, что .

Задача 9: В классе, в котором учатся 20 человек, каждые два либо дружат, либо, в противном случае, враждуют. Известно, что среди любых трех учащихся по крайней мере двое дружат. В классе на собрании произошла ссора, после которой некоторые пары поссорились, а некоторые подружились, причем так, что все равно среди любых трех учащихся хотя бы двое дружат. Докажите, что не менее 30 пар, друживших до ссоры, остались дружить.

Задача 10: Найдите все натуральные числа a, b и c такие, что корни уравнений x² – 2ax + b = 0, x² – 2bx + c = 0, x² – 2c + a = 0 являются натуральными числами.