Задача 1: Над планетой, имеющей форму шара, летает 37 спутников. Докажите, что в любой момент есть точка на планете, из которой видно не более 17 спутников.

Решение: Проведем через пару спутников и центр планеты плоскость и найдем две точки на планете, являющиеся концами ее диаметра, перпендикулярного этой плоскости. Тогда никакой спутник нельзя наблюдать одновременно из обеих точек, а оба выбранных спутника также не видны из этих точек. Следовательно, из одной из них нельзя наблюдать более чем 17 спутников.

Задача 2: Можно ли на окружности единичного радиуса отметить 1990 точек так, чтобы длина любой соединяющей их хорды была рациональной?

Задача 3: Квадрат разбит на два конгруэнтных многоугольника. Докажите, что центр квадрата лежит на их границе.

Задача 4: На бесконечной ленте напечатана бесконечная последовательность цифр от 1 до 9. Докажите, что либо какая-то комбинация цифр повторится 10 раз подряд, либо из нее можно вырезать 10 стозначных чисел идущих в порядке убывания.

Задача 5: Докажите, что для любой точки O внутри квадрата ABCD выполняются неравенства: 135 <  ∠ OAB +  ∠ OBC +  ∠ OCD +  ∠ ODA < 225.

Задача 6: На окружности записаны 128 целых чисел. За один ход между каждой парой соседних чисел записывается их сумма, а сами эти числа стираются. Докажите, что через несколько ходов все числа будут делиться на 128.

Задача 7: Прямая раскрашена в 2 цвета. Докажите, что найдутся три точки A₁, A₂, A₃ одного цвета, такие, что A₁A₂ = A₂A₃.

Решение: Предположим, что это не так. Понятно, что найдутся две точки X и Y одного цвета – пусть черного. Выберем точки A, B и C, так что B – середина XY, X – середина AY, Y – середина XC. Тогда все три точки A, B и C должны быть белыми; но тогда они и образуют искомую тройку.

Задача 8: Решите уравнение:

Решение: Ответ: 6;  – 2; ; .