Задача 1: Докажите, что если n – натуральное число и число 4ⁿ + 2n + 1 – простое, то n – степень тройки.

Задача 2: Существует ли такое n, что любое рациональное число между 0 и 1 представимо в виде , где a_i – натуральные числа?

Решение: Сформулируем вспомогательную Лемму. Пусть число слагаемых n фиксировано. Тогда для любого числа  α _n можно указать такое число  β _n <  α _n, что если , то . Эту Лемму несложно доказать индукцией по n. (Базу проверим при n = 1: . Легко делается и шаг индукции.) Теперь применим нашу Лемму при  α _n = 1. Получим, что при каждом n существует некоторый интервал ( α _n, β _n), ни одно из чисел которого не представимо в требуемом виде. Но понятно, что в этом интервале найдется хотя бы одно (и даже бесконечно много!) рациональное число.

Задача 3: Сколькими способами ладья может с поля a1 попасть на поле h6, двигаясь только вправо и вверх?

Решение: Заметим, что ладье нужно сделать 7 единичных ходов вправо и 5 единичных ходов вверх; причем эти ходы можно чередовать в любом порядке, и при этом будут перебраны все возможные варианты движения ладьи. Значит, ответ .

Задача 4: Докажите, что

Решение: По индукции легко доказать, что

откуда следует требуемое неравенство.

Задача 5: В прямоугольной таблице стоят натуральные числа. Разрешается одновременно вычесть 1 из всех чисел одной строки или умножить на 2 все числа одного столбца. Докажите, что с помощью этих операций можно получить таблицу из одних нулей.

Решение: Достаточно доказать, что все элементы любой строки можно сделать нулями.

Задача 6: На плоскости заданы прямая L и две точки A и B. Как следует выбрать на этой прямой точку P, чтобы наибольшее из расстояний AP и BP было минимальным?

Задача 7: Докажите, что n! не делится на 2ⁿ ни при каком натуральном n.

Решение: Пусть n = 2^k + t, где t – нечетное. Тогда количество двоек в разложении n! на простые сомножители равно

Задача 8: Докажите, что сумма плоских углов выпуклого замкнутого многогранника равна 360 × (n – 2), где n – число вершин.

Решение: Например, индукцией по числу вершин.

Задача 9: На сторонах треугольника ABC во внешнюю сторону построены квадраты ABMP и BCDK. Докажите, что продолжение медианы BE треугольника ABC является высотой треугольника BMK.

Решение: Повернем треугольник ABC на 90 относительно точки B так, чтобы точка A перешла в точку M. Пусть при этом C перейдет в C′. Но тогда BE перейдет в среднюю линию треугольника MC′K.

Задача 10:  – некоторая перестановка чисел . Докажите, что

Решение: Например, по неравенству Коши.