Задача 1: В пятиугольнике площади всех треугольников, примыкающих к сторонам, равны 1. Найдите площадь пятиугольника.

Решение: Ответ: .

Задача 2: Внутри квадрата со стороной 2 расположено 7 многоугольников площади не менее 1 каждый. Докажите, что существует два многоугольника, площадь пересечения которых не менее 1/7.

Задача 3: Сто сумасшедших красят доску 100 × 100 в 100 цветов, соблюдая единственное правило: в одной строке и в одном столбце не может быть двух клеток, раскрашенных одинаково. Могут ли сумасшедшие правильно раскрасить доску, если уже раскрашено 100 клеток?

Решение: Нет, не всегда. Раскрасим первые 99 клеток первой строки в первые 99 цветов, а последнюю клетку второй строки – в оставшийся 100-й цвет. Тогда последнюю клетку первой строки раскрасить уже не удастся.

Задача 4: Первый член последовательности a_k равен 1, остальные вычисляются по правилу: . Докажите, что a₁₀₀ > 14.

Решение: Заметьте, что .

Задача 5: Что больше: или ?

Решение: Первое число больше.

Задача 6: На плоскости отмечено несколько точек, не все на одной прямой. В каждой точке записано число, причем сумма чисел в точках, лежащих на одной прямой равна 0. Докажите, что все числа равны 0.

Задача 7: Единичный квадрат разбит двумя способами на n равновеликих многоугольников. Докажите, что можно выбрать n точек так, что в каждой из полученных 2n частей окажется по одной точке.

Задача 8: Пусть n – натуральное число, а d – натуральный делитель числа 2n². Докажите, что n² + d не является квадратом.

Решение: Пусть 2n² = dq. Предположим противное, т.е. n² + d = k². Тогда легко получить, что n²(2 + q) = k²q. Если q нечетно, то q и q + 2 взаимно просты, а значит, являются полными квадратами, чего не может быть. Если же q четно, то взаимно просты q/2 и 1 + q/2, а значит, являются полными квадратами, чего также не может быть.

Задача 9: В городе Метрополисе каждая линия метро соединяет две станции. При закрытии любых девяти с каждой станции можно добраться до каждой. Докажите, что 10 путешественников могут проехать от площади Чернова до площади Белова попарно непересекающимися маршрутами (отсутствуют пересечения на станциях).

Задача 10: Некоторое множество целых чисел, среди которых есть как положительные, так и отрицательные, вместе с каждыми своими элементами a и b содержит 2a и a + b. Докажите, что это множество содержит разность любых двух своих элементов.