Задача 1: Отображения круга в себя таково, что для любых двух точек расстояние между их образами не меньше расстояния между самими точками. Докажите, что это отображение – поворот или осевая симметрия.

Задача 2: В четырехугольнике все стороны и диагонали не длиннее одного сантиметра. Каков наибольший возможный периметр этого четырехугольника?

Задача 3: Может ли произведение трех последовательных натуральных чисел равняться некоторой степени натурального числа (квадрату, кубу и т.д.)?

Решение: Нет, не может. Воспользуйтесь взаимной простотой k + 1 и k(k + 2).

Задача 4: В стране Плюралии 1990 политических партий. В каждой состоит более половины населения. Докажите, что начальнику тайной полиции хватит 10 осведомителей, чтобы получать информацию о деятельности всех партий.

Решение: Построим прямоугольный параллелепипед, три ребра которого идут по осям цилиндров. Поместим начало системы координат в центр параллелепипеда, а оси направим параллельно его сторонам. Для точки с координатами (x,y,z) запишем условие принадлежности всем трем цилиндрам. Сложим три получившихся неравенства. Легко получить, что .

Задача 5: Докажите, что пересечение трех прямых круговых цилиндров радиуса 1, оси которых попарно взаимно перпендикулярны (но не обязательно пересекаются) содержится в некотором шаре радиуса .

Задача 6: В каждой клетке шахматной доски написано целое число от 1 до 64, причем в разных клетках – разные числа. За один вопрос можно указать любое множество полей и узнать совокупность стоящих в них чисел. За какое наименьшее число вопросов можно узнать число в каждой клетке?

Решение: Наименьшее необходимое число вопросов равно 6.

Задача 7: На координатной плоскости даны три системы прямых: x = n, y = m, x + y = k, где m, n, k – целые. Плоскость ими разбивается на части, некоторые из которых – треугольники. Пусть T(R) – это число треугольных частей, а M(R) – общее число частей, лежащее в круге x² + y² = R. Найдите .

Задача 8: Назовем выпуклый многоугольник константным, если сумма расстояний от точки внутри него до прямых, содержащих стороны, постоянна. Докажите, что многоугольник A₁A₂ … A_n константен тогда и только тогда, когда

Задача 9: Докажите, что 1¹ºº + 2¹ºº + ... + 999999¹ºº делится на 100000.

Решение: Разобьем слагаемые на пары (a¹ºº,(10⁶ – a)¹ºº). Эти пары разобьем на 5 групп, в каждой из которых a изменяется от k × 10⁵ + 1 до (k + 1) × 10⁵, k = 0,1,2,3,4. Легко видеть, что сумма пар в каждой группе равноостаточна с суммой 1¹ºº + 2¹ºº +  +  …  + 99999¹ºº. Осталось доказать, что 1¹ºº + 2¹ºº +  …  + 99999¹ºº делится на 10000. Повторяя рассуждения, спускаемся к очевидному факту: 1¹ºº +  …  + 99¹ºº делится на 10.

Задача 10: В последовательности a_n (n = 1,2, … ) a₁ – произвольное натуральное число, а каждое следующее число равно предыдущему, сложенному с суммой его цифр. Докажите, что при бесконечно многих значениях n сумма цифр числа a_n не превосходит .