Задача 1: Решите уравнение  sin x –  cos x = 2 ^ctg x – 2 ^tg x на промежутке .

Решение: Заметим, что левая часть строго возрастает, а правая – строго убывает. Значит, уравнение имеет единственное решение: .

Задача 2: Докажите, что ни при каком натуральном n 5ⁿ – 1 не делится на 4ⁿ – 1.

Решение: При нечетных n правая часть делится на 3, а левая – не делится. При четных n правая часть делится на 5, а левая – не делится.

Задача 3: Число состоит из нулей и единиц. С ним можно делать такую операцию: любой блок «01" можно заменить на блок «1000". Докажите, что такую операцию можно проводить лишь конечное число раз.

Решение: В какой-то момент самая левая единица перестанет двигаться. После этого момента отбросим эту единицу и все, что левее нее. Теперь есть новая «самая левая" единица – когда-нибудь и она перестанет двигаться и т.д. Значит, когда-нибудь все единицы перестанут двигаться, т.е. мы больше не сможем проводить операцию.

Задача 4: На плоскости дано конечное множество точек такое, что серединный перпендикуляр к любому отрезку, соединяющему какие-то две точки этого множества, проходит ровно через две точки этого множества. Докажите, что в этом множестве не меньше восьми точек.

Решение: Пусть AC – CB = m, J – центр вписанной окружности, K – точка касания ее с AB. Т.к. AK = (AB + m)/2, то положение точки K постоянно. А т.к.  ∠ AJB > 90, то точка J лежит внутри отрезка DK, где D – такая точка, что  ∠ ADB = 90. Ответ: два отрезка без концов – DK и симметричный ему относительно AB.

Задача 5: На плоскости даны точки A и B. Рассмотрим точки C, не лежащие на прямой AB и такие, что величина AC × BC постоянна. Найдите ГМТ центров окружностей, вписанных в треугольник ABC.

Задача 6: На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A₁, B₁, C₁ соответственно так, что отрезки AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке. Пусть M – проекция точки A₁ на B₁C₁. Докажите, что MA₁ – биссектриса угла BMC.

Решение: Используйте теоремы Чевы и Менелая и понятие окружности Аполлония.

Задача 7: Можно ли бумажный квадрат n × n сложить так, чтобы одним взмахом ножниц его можно было бы разрезать на n² квадратов 1 × 1?

Решение: Да, можно – это легко доказывается по индукции.

Задача 8: В окружность вписан выпуклый четырехугольник, у которого одна из пар противоположных сторон по длине совпадает с парой сторон правильного шестиугольника и квадрата, вписанных в эту окружность. Меньшая диагональ этого четырехугольника делится точкой пересечения диагоналей в отношении 1:2. Одной линейкой постройте центр окружности.

Задача 9: Для всех положительных a, b,c докажите неравенство: a³ + b³ + c³ + 6abc ≥ (a + b + c)³/4.

Решение: Заменив переменные, придем к: x³ + y³ + z³ + 6xyz ≥ ¼, где x + y + z = 1. Отсюда получаем 4xy(x + y) + 4xz(x + z) + 4yz(y + z) ≤ 1, что легко доказывается.

Задача 10: На плоскости дан вектор. Его разрешается проектировать на любую прямую. Можно ли его таким образом повернуть на 90, чтобы его длина изменилась меньше, чем на 1%?

Решение: Если вектор n раз повернуть (проектируя) на угол , то он повернется на угол ; а его длина при этом измениться в раз. Нетрудно доказать, что при достаточно больших n эта величина больше 0,99, т.е. ответ: да.