Задача 1: Решите в натуральных числах уравнение: x³ + y³ + 1 = 3xy.

Решение: Без ограничения общности можно считать, что x ≥ y. Но тогда при x > 3 получим x³ > 3xy. Значит, y ≤ x ≤ 3. Легким перебором убеждаемся, что подходит только пара (1,1).

Задача 2: Докажите, что из любого равнобедренного треугольника площади S можно вырезать три равных треугольника площади большей, чем S/4.

Задача 3: Прямые разбивают верхнюю полуплоскость (y ≥ 0) на многоугольники, диаметр каждого из которых меньше 1. Докажите, что один из них можно выдвинуть вниз, не смещая остальные.

Задача 4: Существует ли 10000 конечных последовательностей длины 1,000,000,000 , j = 1,2, … ,10000 таких, что для любого и для любых j и k (j ≠ k): ?

Задача 5: Каждая точка плоскости окрашена в один из трех цветов. Докажите, что по крайней мере один из этих цветов таков, что для любого d > 0 найдутся две точки этого цвета, находящиеся на расстоянии d.

Решение: Допустим, что для первого цвета нет двух точек на расстоянии k. Тогда возьмем любую точку этого цвета и проведем окружность радиуса k с центром в ней. Все точки этой окружности – второго цвета, а значит, для второго цвета уже есть все расстояния от 0 до 2k. Предположим, что для второго цвета нет какого-то расстояния m > 2k. Тогда из любой точки второго цвета проведем окружность радиуса m. Все точки этой окружности имеют первый цвет. Получили противоречие с тем, что для первого цвета нет двух точек на расстоянии k.

Задача 6: Найдите все функции f:R → R такие, что для любых действительных чисел a,b и c f(a + b + c) = f(a)f(b) – f(c).

Решение: Ответ: либо f ≡ 0, либо f ≡ 2.

Задача 7: Сфера S вписана в правильную четырехугольную пирамиду. Сфера радиуса r вписана в трехгранный угол пирамиды, касается сферы S и находится внутри пирамиды. Сфера радиуса t вписана в четырехгранный угол пирамиды, касается сферы S и находится внутри пирамиды. Найдите радиус сферы S.

Задача 8: Диагонали выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке M,  ∠ AMD = 120, AM = MD. На стороне BC взята произвольная точка E, а на сторонах AB и CD – соответственно точки K и P так, что KE\|AC и EP\|BD. Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника KEP, лежит на стороне AD.

Задача 9: Докажите, что существует многочлен с целыми коэффициентами 1024-й степени, корнем которого является число .

Задача 10: Двое играют в такую игру. Первый пишет на доске натуральное число. Второй приписывает справа к нему некоторую цифру. Затем первый приписывает слева к получившемуся числу некоторую ненулевую цифру. Первый стремится к тому, чтобы получившееся на доске число делилось на 11, а второй хочет ему помешать. Кто выигрывает при правильной игре?

Решение: Выигрывает второй игрок. Рассмотрите два случая: второй игрок своим ходом может сделать число, делящееся на 11, либо не может, и воспользуйтесь признаком делимости на 11.