Задача 1: Докажите, что среди трех высот и трех биссектрис произвольного остроугольного треугольника найдутся три отрезка, из которых можно составить треугольник.

Задача 2: Докажите, что для любого натурального k найдется число вида 2ⁿ (n – натуральное) такое, что среди k последних цифр его десятичной записи содержатся только единицы и двойки.

Задача 3: Дан выпуклый четырехугольник ABCD (AB и CD – непараллельны). Окружность, проходящая через точки A и B, касается прямой CD в точке P, а окружность, проходящая через точки C и D, касается прямой AB в точке Q. Докажите, что общая хорда этих двух окружностей проходит через середину отрезка PQ тогда и только тогда, когда AD и BC параллельны.

Задача 4: В n – 1 клетке доски n × n сидят по одному жуку. Каждый жук охраняет соседние с ним клетки. Докажите, что найдется жук, который может переползти в свободную соседнюю клетку, неохраняемую никаким другим жуком (соседними называются клетки, имеющие общую сторону).

Решение: По принципу Дирихле, найдутся строка и столбец, в которых нет жуков. Рассмотрите клетки, примыкающие к клетке пересечения этих строки и столбца.

Задача 5: Все стороны и диагонали правильного n-угольника (n ≥ 3) произвольным образом раскрашены в красный и синий цвета (каждая сторона или диагональ покрашена целиком в один цвет). Докажите, что в вершинах этого n-угольника можно расставить попарно различные натуральные числа так, чтобы синие отрезки соединяли те и только те вершины, в которых стоят взаимно простые числа.

Задача 6: Найдите все многочлены P(x) с действительными коэффициентами, удовлетворяющие для каждого x условию: P(x²) = P(x)P(x – 1).

Задача 7: Двое играют в «крестики-нолики" на бесконечной доске, разбитой на равные правильные треугольники. Ходят по очереди, ставя значки в еще пустые узлы решетки. Начинающий ставит каждым своим ходом один крестик, а второй игрок – по 1994 нолика. Начинающий выигрывает, если менее чем за 109 ходов ему удастся разместить три крестика в вершинах произвольного правильного треугольника. В противном случае побеждает второй. Кто выигрывает при правильной игре, и как ему следует играть?

Решение: Выигрывает первый. Первым ходом он фиксирует любую прямую решетки и направление на этой прямой (назовем это направление «вправо"), и ставит на ней крестик. Очередной ход он делает так: проводит окружности с центрами в предыдущих крестиках, содержащие внутри себя все нолики, а затем, отступив на прямой «вправо" от предыдущего крестика, ставит новый крестик так, чтобы он оказался вне проведенных окружностей. Заметим, что каждая пара крестиков порождает две точки, которые должны быть заняты ноликами – иначе удастся построить равносторонний треугольник. Заметим также, что пары, в которых участвует только что поставленный крестик, порождают точки, еще заведомо не заполненные ноликами (это следует из способа построения окружностей); а значит, эти точки должны «забиваться" ноликами следующим ходом второго. Однако своим 1001-м ходом первый создаст 2000 таких новых точек, а значит, второй не успеет их закрыть ноликами и проиграет.

Задача 8: Рассматриваются всевозможные параболы y = x² + px + q, пересекающие положительные полуоси координат в трех различных точках. Для каждой такой тройки точек строится проходящая через них окружность. Докажите, что все эти окружности имеют общую точку.

Решение: Пусть парабола пересекает ось OY в точке B, а ось OX – в точках C и D. Проведем через эти три точки окружность. Пусть она пересекает ось OY второй раз в точке A (которая, возможно, совпадает с B). Тогда, по свойству секущей, по теореме Виета. Значит, все такие окружности проходят через точку A(0,1).

Задача 9: В компьютерной игре «Марио-математик" игровое поле состоит из целочисленных узлов, лежащих в квадрате 100 × 100. За один ход можно передвинуть Марио в соседний по диагонали узел (вправо-вверх или вправо-вниз). В процессе игры Марио перемещается из узла A(0;3) в узел B(100;1) так, чтобы хотя бы один раз он оказался на нижней стороне квадрата. Ровно один из допустимых путей Марио является призовым. Какое наименьшее количество раз необходимо сыграть, чтобы наверняка получить приз?

Задача 10: Бесконечная доска разбита линиями сетки на клетки 1 × 1. В каждый узел сетки вбит гвоздь. На доске расположен уголок – пара стержней длины 6, соединенных шарниром. Точка соединения находится в середине одной из клеток, а стержни перпендикулярны друг к другу и параллельны линиям сетки. Можно ли, не отрывая уголок от доски и не касаясь гвоздей, добиться того, чтобы угол между стержнями стал развернутым?