Задача 1: Высоты AA₁, BB₁ и CC₁ остроугольного треугольника ABC продолжены до пересечения с описанной около этого треугольника окружностью в точках A₂, B₂ и C₂ соответственно. Докажите, что .

Решение: Пусть O – центр описанной окружности. Заметим, что OA₁ = A₁A₂,OB₁ = B₁B₂,OC₁ = C₁C₂. Значит, нам нужно доказать, что , т.е. , что очевидно.

Задача 2: В вершине A₀ правильного (n + 1)-угольника A₀A₁ … A_n (n ≥ 3) стоят n фишек. Выбираются две вершины многоугольника A_i и A_j (i,j = 0,1, … n; возможно, i = j), содержащие хотя бы по одной фишке, после чего одна фишка из A_i передвигается в вершину, соседнюю с ней, и одновременно одна фишка из A_j передвигается в соседнюю с ней вершину. Для каких n можно добиться того, чтобы через некоторое число ходов в вершинах A₁, A₂,  … , A_n стояло по одной фишке?

Решение: Ответ: можно для всех, кроме n вида 4k + 1, где k – целое.

Задача 3: В произвольном тетраэдре на ребрах расставлены стрелки (по одной на каждом ребре). Докажите, что можно выбрать две непустые группы попарно различных векторов с одинаковой суммой.

Решение: Достаточно доказать, что найдется грань, на которой не все стрелки расставлены в одном направлении (т.е. сумма трех этих векторов не равна нулю).

Задача 4: Пусть a и b – длины катетов, c – длина гипотенузы прямоугольного треугольника. Докажите, что если числа a, b и c – целые, то число c² + ab представимо в виде суммы квадратов двух натуральных чисел.

Задача 5: Длины ребер тетраэдра равны 5, 5, 8, 9, 13, 13. Какой наибольший периметр может иметь грань такого тетраэдра?

Задача 6: Два игрока поочередно закрашивают клетки на клетчатой доске 19 × 94. Каждым ходом закрашиваются несколько (может быть, одна) ранее незакрашенных клеток, образующих квадрат. Игрок выигрывает, если после его хода все клетки доски закрашены. Кто выигрывает при правильной игре: начинающий или его соперник?

Решение: Выигрывает первый игрок. Мысленно разобьем доску на две половинки размера 19 × 47. Первым ходом первый игрок закрашивает квадрат 18 × 18, симметричный относительно линии разбиения. Далее, какой бы ход ни сделал второй игрок в одной из половинок, первый делает симметричный ему ход в другой половинке. Понятно, что тем самым первый игрок обеспечивает себе выигрышную стратегию.

Задача 7: Коэффициенты квадратного трехчлена – целые числа, дающие попарно различные остатки при делении на 3. Может ли дискриминант этого квадратного трехчлена равняться 1994?

Решение: Нет, не может. Рассмотрите остаток от деления дискриминанта на 3.

Задача 8: Последовательность a_n, состоящая из натуральных чисел, такова, что a_n + a_n + 2 ≤ 2a_n + 1 при всех натуральных n. Докажите, что существуют такие числа k и b, что для бесконечного множества индексов i выполняется равенство: a_i = ki + b.

Решение: Заметим, что a_n + 2 – a_n + 1 ≤ a_n + 1 – a_n. Все время уменьшаться эта разность не может – иначе когда-нибудь она станет отрицательной, т.е. последовательность будет убывающей и не сможет состоять из натуральных чисел. Значит, начиная с некоторого момента, разности соседних членов последовательности будут равны одному и тому же числу.

Задача 9: На плоскости даны прямая l и треугольник ABC по одну сторону от нее. Пусть A₁, B₁ и C₁ – точки, симметричные A, B и C относительно l. Через точку A₁ проведена прямая, параллельная BC, через точку B₁ – прямая, параллельная AC, через точку C₁ – прямая, параллельная AB. Докажите, что три построенные прямые пересекаются в одной точке.

Решение: Опишем окружность вокруг треугольника A₁B₁C₁. Нетрудно убедиться, что точка пересечения каждых двух из наших прямых лежит на окружности, а значит, все они пересекаются в одной точке.

Задача 10: Найдите все решения системы уравнений в натуральных числах: