Задача 1: Докажите, что при всех x,y ∈ [0;1] выполняется неравенство: 5(x² + y²)² ≤ 4 + (x + y)⁴

Решение: Раскрыв скобки, получаем: x⁴ + y⁴ + x²y² ≤ x³y + xy³ + 1. Без ограничения общности можно считать, что x ≥ y. Но тогда xy³ ≥ y⁴, x³y ≥ x²y², а 1 ≥ x⁴.

Задача 2: Дан параллелограмм ABCD ( ∠ BAD – острый). Биссектриса угла BAD пересекает сторону CD в точке L, а прямую BC – в точке K. Пусть O – центр окружности, описанной около треугольника LCK. Докажите, что точки D, B, C и O лежат на одной окружности.

Задача 3: Дана функция f(x) = x² – 3|x| + 4. Найдите все множества A, состоящие из конечного числа элементов и обладающие следующим свойством: для любого числа x, принадлежащего множеству A, число f(x) также принадлежит множеству A.

Решение: Заметим, что если x > 2, то f(x) > x, но т.к. A – конечное множество, то таких чисел в нем нет. Аналогично, если 0 ≤ x < 1, то f(x) > 2, и таких чисел тоже нет. Кроме того, если 1 < x < 2, то 1 < f(x) < 2 и f(x) > x, значит, таких чисел тоже нет. Т.к. f(x) – четная функция, то все вышесказанное относится и к соответствующим отрицательным числам. Перебирая оставшийся набор чисел, получаем ответ: 2, 1,2,  – 2,2,  – 1,2,  – 2, – 1,2,  – 2,1,2,  – 1,1,2,  – 2, – 1,1,2.

Задача 4: Можно ли разбить множество натуральных чисел на три непустых попарно непересекающихся множества так, чтобы для каждой пары чисел x и y, взятых из любых двух разных множеств, число xy + x + y принадлежало бы третьему множеству?

Решение: Обозначим f(x,y) = xy + x + y. Заметим, что f(1,5) = f(2,3) = 11. Значит, либо 1 и 3 в первой группе, а 2 и 5 – во второй, либо 1 и 2 – в первой, а 3 и 5 – во второй. Первый случай не подходит, т.к. f(2,1) = 5. Во втором случае получаем, что f(1,3) = 7 вместе с 11 – в третьей группе, но тогда f(1,7) = 15 – во второй, и получаем противоречие из f(15,1) = f(7,3).

Задача 5: Даны последовательности a_n и d_n: a_n = 100 + n², d_n – наибольший общий делитель чисел a_n и a_n + 1. Какое наибольшее значение может принимать d_n?

Задача 6: Найдите все функции f(x):R → R, которые для любых x и y удовлетворяют равенству f(x² + y) = f(x) + f(y).

Решение: Подставив x = y = 0, получаем f(0) = 0. Подставив y = 0, получаем f(x²) = f(x), откуда f(x) = f( – x), т.е. функция нечетна. Подставив y =  – x², получим f(x) =  – f( – x²). Итак, f( – x²) = f(x²) = f(x) =  – f( – x²), откуда, используя нечетность, получаем, что наша функция – тождественный нуль.

Задача 7: Даны 27 (не обязательно различных) положительных чисел . Рассматриваются тройки индексов (k,m,n) такие, что a_k < a_m, a_k + a_m = a_n. Каково наибольшее возможное количество таких троек?

Задача 8: Сфера с центром O касается всех ребер тетраэдра. Четыре сферы с центрами в вершинах тетраэдра попарно касаются друг друга внешним образом, а также касаются некоторой сферы с центром O. Докажите, что тетраэдр является правильным.

Задача 9: Пусть  α (x) и  β (x) – многочлены, степень каждого из которых больше единицы,  ρ (x) =  α ( β (x)). Пусть многочлен  ρ (x) – четен. Докажите, что многочлен  β (x) –  β (0) – четен или нечетен.

Задача 10: В стране 22 аэродрома, и каждый связан авиарейсами с тремя другими. Докажите, что есть такая пара аэродромов A и B, для которой любой перелет из A в B требует не менее трех пересадок.

Решение: Предположим противное. Зафиксируем какой-то город A. Обозначим через S_n множество городов, в которые можно добраться из A за n перелетов и нельзя быстрее. Тогда в S₁ три города, в S₂ шесть городов, а в S₃ 12 городов – всего 1 + 3 + 6 + 12 = 22 города. Выберем в S₃ какой-нибудь город B. Небольшим перебором убеждаемся, что в S₃ есть город C, в который нельзя добраться из B за три перелета.