Задача 1: В телесериале «Тайна Санта-Барбары" участвуют 36 героев. В каждой новой серии происходит хотя бы одно из следующих событий: либо кто-то из героев узнает тайну, либо кто-то узнает, что кто-то из героев не знает тайны, либо кто-то узнает, что кто-то из героев знает тайну. Может ли показ сериала длиться не менее семи лет, если каждый день будет демонстрироваться новая серия?

Решение: Каждый герой может узнать тайну (1 день), узнать о каждом из остальных, что тот не знает тайны (35 дней), потом о каждом, что тот знает тайну (еще 35 дней), т.е. каждый герой может «занять" 1 + 35 + 35 = 71 день. Всего героев 36, значит, сериал не может длиться дольше чем 71 × 36 = 2556 дней. Это число достигается: сначала никто не знает тайны, и каждый узнает о каждом, что тот не знает тайны; затем узнает тайну один, остальные узнают, что он знает тайну; затем узнает тайну второй, и т.д. Осталось заметить, что 7 подряд идущих лет, среди которых только один високосный, состоят ровно из 2556 дней.

Задача 2: Упростите выражение: , где

Задача 3: Докажите, что для любых a,b,c,d > 0 выполняется неравенство:

Задача 4: Можно ли выложить полный комплект домино по кругу так, чтобы, разрезав каждую доминошку по середине и склеив соседние половинки, вновь получить полный комплект домино?

Решение: Да, можно.

Задача 5: С натуральным числом можно производить следующую операцию: умножить его на любое однозначное число и из полученного произведения вычеркнуть все единицы. Найдите все натуральные n, которые после нескольких применений указанной операции могут быть переведены в число 2.

Задача 6: Рассмотрим последовательности (a_n) , удовлетворяющие следующим условиям: a₁ = 2, a₂ = 3, a_n + 2 ∈ 2a_n;3a_n + 1 – 2a_n, n ∈ N. Докажите, что ни одна из этих последовательностей не содержит ни одного шестизначного числа, начинающегося с 8 или 9.

Задача 7: Найдите все положительные рациональные числа x, y, z такие, что числа x + y + z, , xyz – целые.

Задача 8: В выпуклом шестиграннике все грани – четырехугольники, а семь его вершин лежат на одной сфере. Докажите, что и восьмая вершина лежит на этой сфере.

Задача 9: На плоскости расположены 5 точек общего положения, причем площадь любого треугольника с вершинами в этих точках больше 3. Докажите, что площадь хотя бы одного из этих треугольников больше 4.

Задача 10: В данный остроугольный треугольник впишите равносторонний треугольник наименьшей площади.