Задача 1:

Задача 2: Выписаны 9 чисел – длины биссектрис, высот и медиан некоторого треугольника. Известно, что среди них не более 4 различных. Докажите, что этот треугольник – равнобедренный.

Решение: Если треугольник разносторонний, то h₁ < h₂ < h₃ < l₃ < m₃ – уже 5 различных.

Задача 3:

Задача 4: Докажите, что для любого натурального n число представимо в виде суммы кубов четырех целых чисел.

Решение: Случаи: 6^3k = (6^k)³ + 0 + 0 + 0, 6^3k + 1 = (2 • 6^k)³ + ( – 6^k)³ + ( – 6^k)³ + 0, 6^3k + 2 = (3 • 6^k)³ + (2 • 6^k)³ + (6^k)³ + 0.

Задача 5:

Задача 6:

Задача 7: На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты соответственно точки A₁, B₁ и C₁ так, что AC₁:C₁B = BA₁:A₁C = CB₁:B₁A = 2:1. Докажите, что если треугольник A₁B₁C₁ – равносторонний, то и треугольник ABC – равносторонний.

Задача 8:

Задача 9:

Задача 10: Докажите, что число 1994² + 1994²1995² + 1995² – полный квадрат.

Решение: Легко видеть, что a² + a²(a + 1)² + (a + 1)² = (a² + a + 1)².