Задача 1: Докажите, что произведение всех попарных разностей четырех целых чисел делится на 12.

Решение: По принципу Дирихле, среди чисел найдутся два, имеющие одинаковый остаток от деления на 3, т.е. их разность делится на 3. Кроме того, нетрудно убедиться, что найдутся по крайней мере две пары чисел одинаковой четности, т.е. в произведении найдутся по крайней мере две четных скобки.

Задача 2: Докажите, что при всех n > 1 полосу 4 × 3n можно выложить уголками вида как прочную доску.

Решение: Постройте пример для доски 4 × 6, а затем докажите, что полученную конструкцию можно «раздвигать", увеличивая ее ширину на клетки.

Задача 3: За круглым столом сидят рыцари и лжецы – всего 1995 человек. Каждый из них сказал: «Все, кроме, может быть, соседей моих соседей – лжецы". Сколько рыцарей может оказаться за столом? (Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут).

Решение: Два рыцаря.

Задача 4: На доске выписано 10 чисел, среди которых, возможно, есть равные. Оказалось, что среднее арифметическое любых трех из этих чисел уже есть среди выписанных. Докажите, что все числа равны.

Решение: Упорядочьте числа и воспользуйтесь свойством среднего арифметического.

Задача 5: На сторонах CD и DA параллелограмма ABCD взяты соответственно точки E и F. Пусть K – точка пересечения отрезков AE и CF. Докажите, что если площади треугольников AKF и CKE равны, то точка K лежит на диагонали BD.

Решение: Используя подобие треугольников и теорему Чевы, докажите, что отрезки DO, AE и CF пересекаются в одной точке, где O – точка пересечения диагоналей параллелограмма.

Задача 6:

Задача 7: На доске написана цифра 7. Двое играют в следующую игру: они по очереди приписывают по цифре слева или справа (по своему усмотрению) к написанному на доске числу. Выигрывает тот, после хода которого на доске написан полный квадрат. Докажите, что у второго игрока нет выигрышной стратегии.

Задача 8:

Задача 9:

Задача 10: