Задача 1: Из квадратного клетчатого листа вырезаны фигурки вида . Какое наименьшее число единичных квадратиков при этом могло остаться?

Задача 2: Окружность с центром O касается сторон угла с вершиной A в точках K и M. Касательная к окружности пересекает отрезки AK и AM в точках B и C соответственно, а прямая KM пересекает отрезки OB и OC в точках D и E. Докажите, что площадь треугольника ODE равна четверти площади треугольника BOC тогда и только тогда, когда угол A равен 60.

Задача 3: Посреди круглого озера находится остров (выпуклая фигура), который виден из любой точки на берегу озера под углом в 60. Докажите, что остров имеет форму круга.

Задача 4:

Задача 5: Несколько (конечное число) сторон клеток бесконечной клетчатой бумаги окрашены в красный цвет. Раз в секунду выбираются все узлы, из каждого из которых выходит не менее двух красных отрезков, и все остальные отрезки, выходящие из этих узлов, также красятся в красный цвет. Докажите, что число красных отрезков не может при этом неограниченно возрастать.

Решение: Выберем неокрашенный прямоугольник, внутри которого находятся все окрашенные стороны. Легко видеть, что красные отрезки никогда не выйдут за пределы этого прямоугольника.

Задача 6:

Задача 7: Дано 109-значное число, в десятичной записи которого нет нулей. Докажите, что в его десятичной записи либо некоторая группа соседних цифр повторится 10 раз подряд, либо найдется запись 10 различных 100-значных чисел.

Решение: Пусть нет десяти различных 100-значных чисел. Т.к. их всего 10, то среди них есть пара одинаковых; при этом, пересекаясь, они «сдвинуты" не более чем на 9 цифр. Нетрудно убедиться, что набор цифр, на который они «сдвинуты", повториться не менее 10 раз.

Задача 8:

Задача 9: Решите уравнение в натуральных числах: 5⁵ – 5⁴ + 5ⁿ = m².

Задача 10: Дан многочлен P₀(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0). По нему строится последовательность многочленов P_n(x) = P_n – 1(x) + P′_n – 1 или P_n(x) = P_n – 1(x) – P′_n – 1, причем знаки при P_n – 1′(x) могут быть различными при разных n. Докажите, что можно подобрать эти знаки так, что все многочлены P_n(x), кроме, может быть, конечного числа, будут иметь ровно по два действительных корня.

Решение: Достаточно, чтобы каждый раз дискриминант возрастал на какое-нибудь положительное (и ограниченное снизу!) число.