Задача 1: Найдите все натуральные n, при которых число 5ⁿ – 1 делится на 2ⁿ.

Решение: Нет, не может.

Задача 2: Труппа из 16 человек играет пьесу, в которой 16 ролей. Один актер в каждом спектакле играет ровно одну роль, и роли у каждого актера не повторяются в одном сезоне. Труппа заканчивает сезон, когда нельзя подобрать роли актерам, удовлетворяющие этому требованию. Может ли труппа закончить сезон быстрее, чем за 16 спектаклей?

Задача 3: Можно ли разрезать куб на 6 равных треугольных пирамид?

Задача 4: Докажите, что если произведение положительных чисел a, b и c равно единице, то

Задача 5: Функция удовлетворяет функциональному уравнению 4f(f(x)) = 2f(x) + x. Докажите, что f(x) = 0 тогда и только тогда, когда x = 0.

Решение: Пусть f(a) = 0. Тогда подставим вместо x значения a, 0, a/4, a/8. Легко получаем, что a = 0. Пусть f(0) = a. Подставляем вместо x значения 0, a, a/2. Получаем a = 0.

Задача 6: Все точки полосы ширины 0,001 раскрашены в два цвета. Докажите, что найдутся две точки одного цвета на расстоянии 1.

Задача 7: В клетки квадратной таблицы 2n × 2n записаны целые числа. Известно, что таблица 2 × 2n, составленная из любых двух строк исходной таблицы, содержит n столбцов с четной суммой и n столбцов – с нечетной. Докажите, что таблица 2n × 2, составленная из любых двух столбцов, содержит n строк с четной суммой и n – с нечетной.

Задача 8: Для данного натурального числа N построим две последовательности (a_n) и (b_n): a₁ = b₁ = N, a_n + 1 = a_n + S(a_n), b_n + 1 = b_n +  Π (b_n), где S(m) – сумма цифр,  Π (m) – произведение цифр натурального m. Докажите, что при каждом N найдется такой номер k, что a₁ > b₁.

Решение: Достаточно доказать, что, начиная с некоторого момента, последовательность (b_n) перестанет возрастать, в то время как (a_n) постоянно возрастает.

Задача 9: Два игрока играют в «уголки-квадратики". У одного игрока мешок уголков , у другого – мешок квадратиков (сторона любого квадратика 1). Один из игроков выкладывает несколько (по крайней мере одну) фигурок из своего мешка, а затем другой добавляет по своему выбору несколько своих фигурок. Начинающий выигрывает, если из полученного набора уголков и квадратиков можно составить прямоугольник, и проигрывает в противном случае. Верно ли, что у одного из игроков есть выигрышная стратегия независимо от того, кто начинает игру?

Решение: Всегда выигрывает участник, играющий «квадратиками". Если он ходит первым, то ему достаточно выложить три квадратика – тогда при любом ответе второго игрока он сможет выложить прямоугольник либо 2 × k, либо 3 × k. Если же он играет вторым, то он должен дополнить своими квадратиками утроенное количество фигурок первого игрока до ближайшего простого числа – тогда общее количество элементарных квадратиков будет простым числом, и сложить прямоугольник не удастся.

Задача 10: Внутри треугольника ABC взяты точки P, Q и R. Известно, что пары отрезков AQ и BP, BR и CQ, CP и AR пересекаются соответственно в точках H, F и G так, что AH = AG, BH = BF, CF = CG и  ∠ AHP =  ∠ BFQ =  ∠ CGR. Докажите, что прямые PF, QG и RH пересекаются в одной точке.