Задача 1: Функция f(x):R → R такова, что f(f(x)) = e ^– x. Докажите, что она имеет бесконечное число точек разрыва.

Задача 2: При каких целых неотрицательных n набор из n единичных квадратиков можно дополнить несколькими (не менее одной) фигурками вида так, что из всего полученного набора можно будет составить прямоугольник?

Решение: Ответ: при всех. Рассмотрите отдельно случаи четного и нечетного n.

Задача 3: В остроугольном треугольнике одна из вершин, центры вписанной и описанной окружностей, а также ортоцентр лежат на одной окружности. Докажите, что один из углов треугольника равен 60.

Задача 4: Сумма положительных чисел a, b и c меньше  π , и эти числа являются длинами сторон некоторого треугольника. Докажите, что синусы этих углов также являются длинами сторон некоторого треугольника.

Решение: Достаточно доказать, что выполняется неравенство треугольника для синусов.

Задача 5: Найдите все функции f(x) такие, что f(0) = 0 и |f′(x)| ≤ 1995|f(x)| при всех вещественных x.

Задача 6: Таблица 1000 × 1000 заполнена числами 0 и 1 так, что сумма чисел в любом квадрате 3 × 3 равна нулю. Какое наибольшее значение может принимать сумма всех чисел таблицы?

Задача 7: Прямая, проходящая через центр вписанной в треугольник ABC окружности, пересекает стороны AC и BC в точках E и F. Докажите, что .

Задача 8: Найдите все многочлены P(x) такие, что для всех действительных x P(x²) + P(x³) = P(x³ + 1).

Решение: Пусть степень многочлена P равна n > 0, а коэффициент при старшем члене – a. Тогда, после сокращения на ax³ⁿ, степени многочленов, стоящих в левой и правой частях, будут различны, что невозможно. Значит, P ≡ 0.

Задача 9: Пусть A – бесконечное множество натуральных чисел, такое, что любой его элемент является произведением не более чем 1995 простых чисел. Докажите, что можно найти натуральное число n и бесконечное множество BA такие, что наибольший общий делитель любых двух различных чисел из B равен n.

Решение: Если найдется бесконечное подмножество попарно взаимно простых чисел, то задача решена. В противном случае найдется бесконечное подмножество чисел, каждое из которых делится на некоторое натуральное число n > 1. Разделим каждый элемент полученного подмножества на это число n. Заметим, что у нас получилась та же самая задача, но теперь каждое число представимо в виде произведения не более 1994 простых чисел. Проделав еще не более чем 1994 таких же шага, получим искомое подмножество.

Задача 10: Последовательность (x_n) такова, что x₀ = 2, x₁ = x₂ = a, x_n + 2 = x_n + 1x_n – x_n – 1 для всех натуральных n. Известно, что a – рационально, а последовательность (x_n) периодична. Какой может быть длина ее периода?