Задача 1: На плоскости проведены четыре прямые так, что любые две из них пересекаются, а никакие три не проходят черех одну точку. На каждой из этих прямых три точки пересечения с остальными определяют два отрезка. Могут ли восемь образовавшихся отрезков иметь длины: 1; 1; 1,5; 1,5; ; 2; 2; 3?

Задача 2: Найдите все функции f: R  →  R , удовлетворяющие уравнению f(x²) – f(y²) = (x + y)(f(x) – f(y)) для всех x,y ∈  R .

Задача 3: В теннисном клубе n теннисистов a₁, a₂, …, a_n. Для участия в парных состязаниях они образовали n пар K₁, K₂, …, K_n. Известно, что среди этих пар есть пара (a_i,a_j) тогда и только тогда, когда в парах K_i и K_j есть один общий теннисист. Докажите, что каждый теннисист участвует ровно в двух парах.

Задача 4: В клетках квадрата 5 × 5 расставлены целые числа. Докажите, что найдутся две строки и два столбца, сумма чисел на пересечении которых делится на 4.

Задача 5: Можно ли квадрат со стороной 5 расположить на координатной плоскости так, что он покроет 21 целочисленную точку (квадрат с границей).

Задача 6: Можно ли сложить какой-нибудь прямоугольник из набора, содержащего один трехклеточный уголок и остальные – четырехклеточные?

Задача 7: Докажите, что при n ≥ 3 для любого набора чисел 0 ≤ a₁ ≤ a₂ ≤  …  ≤ a_n выполняется неравенство .

Задача 8: На координатной плоскости нарисовали параболу y = (x – a)², где a > 0, и отметили точки A и B ее пересечения с биссектрисой угла между координатными осями и точку C – вершину параболы. Затем все линии и точки, кроме точек A, B, C стерли. Восстановите с помощью циркуля и линейки точку D(1;0).

Задача 9: Докажите, что для любого натурального n можно найти натуральное m, кратное n, сумма цифр которого равна n.

Задача 10: Малыш и Карлсон разрезали круглый торт прямолинейными разрезами, проходящими через его центр, на 20 одинаковых кусков. Они договорились поочередно съедать по 3 произвольных куска, а оставшиеся 2 куска достанутся Малышу, если они окажутся рядом, и Карлсону в противном случае. Начинает есть, конечно, Карлсон. Кто из них сумеет съесть больше кусков торта?