Задача 1: Числа таковы, что | ε _i| < 0,01 для всех i и (1 +  ε _i)(1 +  ε ₂) … (1 +  ε _n) = 2. Верно ли, что | ε ₁ +  ε ₂ +  …  +  ε _n| < 1992?

Задача 2: Двое чеканщиков по очереди выпускают в обращение монету нового достоинства. Им запрещено чеканить копейку и любую монету, которую можно разменять монетами уже выпущенных достоинств. Проигрывает тот, кто не сможет отчеканить новую монету. Кто выигрывает при правильной игре, если первоначально никаких монет нет?

Задача 3: Пусть p – простое, p > 3, а , где m, n – натуральные. Докажите, что m делится на p.

Решение: Домножим левую и правую часть на (p – 1)! и приведем к общему знаменателю. Легко видеть, что в правой части получается целое число, делящееся на p. А так как (p – 1)! не делится на p, то m делится на p.

Задача 4: Решите систему:

Задача 5: На сфере нарисовано 1992 больших круга, никакие три из которых не пересекаются в одной точке. Докажите, что среди частей получившегося разбиения сферы найдется по крайней мере 3984 сферических треугольника.

Задача 6: В клетках каждой строки таблицы n × p (n ≥ 2 – натуральное, p ≥ 3 – простое) расставлены числа от 1 до p (каждое по одному разу). Вычисляют произведение чисел в каждом столбце. При каких n из этих произведений можно всегда найти два, разность которых делится на p?

Задача 7: В пространстве даны три попарно скрещивающиеся прямые a, b и c. Каково наибольшее число прямых d таких, что d образует равные углы с a, b и c и равноудалена от них?

Задача 8: Дано конечное множество векторов на плоскости, длина каждого из которых не больше 1, а сумма равна . Докажите, что для любого числа  α  ∈ (0;1) найдется подмножество этих векторов с суммой такой, что .

Задача 9: Правильный n-угольник ориентирован по часовой стрелке. В его вершинах расставлены цифры от 1 до 9. Для каждой пары соседних вершин начальная служит концом, а конечная началом записи одинаковых k-значных чисел (k < n, число k, вообще говоря, зависит от пары вершин). Докажите, что расстановка цифр переходит в себя при некотором повороте на угол  α  (0 <  α  < 2 π ).

Задача 10: Дан угол с вершиной A. На одной из его сторон взяты точки B и B₁, на другой – точки C и C₁ так, что отрезки BC и B₁C₁ пересекаются в точке K. В окружности, описанной около треугольника ABC, проведена хорда AD, параллельная B₁C₁, а в окружности, описанной около треугольника AB₁C₁, проведена хорда AD₁, параллельная BC. Докажите, что точки D, D₁ и K лежат на одной прямой.