Задача 1: Над планетой, имеющей форму шара, летает 37 спутников. Докажите, что в любой момент есть точка на планете, из которой видно не более 17 спутников.

Задача 2: Можно ли на окружности единичного радиуса отметить 1990 точек так, чтобы длина любой соединяющей их хорды была рациональной?

Задача 3: Квадрат разбит на два конгруэнтных многоугольника. Докажите, что центр квадрата лежит на их границе.

Задача 4: На бесконечной ленте напечатана бесконечная последовательность цифр от 1 до 9. Докажите, что либо какая-то комбинация цифр повторится 10 раз подряд, либо из нее можно вырезать 10 стозначных чисел идущих в порядке убывания.

Задача 5: Докажите, что для любой точки O внутри квадрата ABCD выполняются неравенства: 135 <  ∠ OAB +  ∠ OBC +  ∠ OCD +  ∠ ODA < 225.

Задача 6: На окружности записаны 128 целых чисел. За один ход между каждой парой соседних чисел записывается их сумма, а сами эти числа стираются. Докажите, что через несколько ходов все числа будут делиться на 128.

Задача 7: Прямая раскрашена в 2 цвета. Докажите, что найдутся три точки A₁, A₂, A₃ одного цвета, такие, что A₁A₂ = A₂A₃.

Задача 8: Решите уравнение: