Задача 1: Докажите, что если n – натуральное число и число 4ⁿ + 2n + 1 – простое, то n – степень тройки.

Задача 2: Существует ли такое n, что любое рациональное число между 0 и 1 представимо в виде , где a_i – натуральные числа?

Задача 3: Сколькими способами ладья может с поля a1 попасть на поле h6, двигаясь только вправо и вверх?

Задача 4: Докажите, что

Задача 5: В прямоугольной таблице стоят натуральные числа. Разрешается одновременно вычесть 1 из всех чисел одной строки или умножить на 2 все числа одного столбца. Докажите, что с помощью этих операций можно получить таблицу из одних нулей.

Задача 6: На плоскости заданы прямая L и две точки A и B. Как следует выбрать на этой прямой точку P, чтобы наибольшее из расстояний AP и BP было минимальным?

Задача 7: Докажите, что n! не делится на 2ⁿ ни при каком натуральном n.

Задача 8: Докажите, что сумма плоских углов выпуклого замкнутого многогранника равна 360 × (n – 2), где n – число вершин.

Задача 9: На сторонах треугольника ABC во внешнюю сторону построены квадраты ABMP и BCDK. Докажите, что продолжение медианы BE треугольника ABC является высотой треугольника BMK.

Задача 10:  – некоторая перестановка чисел . Докажите, что