Задача 1: Дано выпуклое тело T. T(r) – множество точек, находящихся от T на расстоянии не выше r. Докажите, что объем T(r) при r ≥ 0 есть многочлен третьей степени от r.

Задача 2:  – отношение двух многочленов степени m без общих корней. Высотой h( α ) рационального числа  α  назовем сумму модулей числителя и знаменателя его представления в виде несократимой дроби плюс 1. Докажите, что при некотором c > 0 имеет место неравенство: h(R( α )) > hⁿc( α ).

Задача 3: Последовательность a₁, a₂,  … . такова, что |a₁| = 1 и |a_i + 1| = |a_i + 1| для k ≥ 1. Найдите наименьшее возможное значение модуля суммы .

Решение: Возводя равенства в квадрат и складывая, получаем: , т.е. . Рассматривая допустимые значения для a₁₉₉₂, находим минимум: |44² – 1992|/2 = 28.

Задача 4: Внутри выпуклого многогранника объемом 1 отмечено 3(2ⁿ – 1) точки. Докажите, что из него можно вырезать выпуклый многогранник объема , не содержащий внутри себя ни одной отмеченной точки.

Задача 5: Докажите, что любую функцию, определенную на всей числовой прямой, можно представить в виде суммы двух функций, график каждой из которых имеет центр симметрии.

Решение: Для данной f(x) построим функции g(x) и h(x), имеющие центры симметрии в точках (0,0) и (1,0). На интервале [ – 1,1) положим h(x) = f(x) – x, g(x) = x. На интервале [1,3) определим h(x) так, чтобы ее график был симметричен относительно точки (1,0). На этом же интервале положим g(x) = f(x) – h(x). После этого снова определяем g(x) на интервале ( – 3, – 1], и т.д.

Задача 6: В числовом треугольнике верхнее число равно 1, а крайние числа в каждой строке тоже, равны 1. Каждое из остальных чисел не меньше суммы двух чисел, стоящих над ним. Пусть натуральное число a > 1 встречается в треугольнике k раз. Докажите, что 2^k < a².

Решение: Рассмотрим все числа, стоящие строго под верхним числом. Нетрудно доказать, что очередное из этих чисел по крайней мере в 2 раза больше предыдущего: x_m + 1 ≥ 2x_m. Проведем через какое-нибудь x_m из этих чисел пару прямых, параллельных боковым сторонам числового треугольника. Числа, лежащие ниже этих прямых, будут больше x_m. Выберем такое m, что x_m ≤ a < xm + 1. Легко доказать, что k ≤ 2m, откуда и следует утверждение задачи.

Задача 7: Докажите, что если 8k + 1 – простое, то при некотором q число q² – 2 делится на 8k + 1.

Задача 8: Найдите все такие геометрические прогрессии, n и k, что сумма n последовательных первых членов этой геометрической прогрессии делит сумму их k-х степеней.

Задача 9: Можно ли разбить квадрат на непересекающиеся отрезки, из которых можно сложить квадрат других размеров?

Решение: Ответ: .

Задача 10: Какому условию должны удовлетворять длины сторон треугольника, чтобы треугольник, составленный из его медиан был подобен данному?