Задача 1:

Задача 2: Длины сторон треугольника – факториалы натуральных чисел. Докажите, что этот треугольник равнобедренный.

Задача 3: Докажите, что при всех действительных x выполнено неравенство: x² + x cos x + x² sin x + 1/2 > 0.

Задача 4: На стороне AB равностороннего треугольника ABC взята точка A₁. Точка A₂ – проекция точки A₁ на сторону BC, точка A₃ – проекция A₂ на сторону C_A, точка A₄ – проекция A₃ на сторону AB, и т.д. Найдите все положения точки A₁, при которых A₉₄ = A₁.

Задача 5: Дана окружность с центром S. Хорда AB не проходит через S. C – внутренняя точка AB. Окружность, описанная вокруг треугольника ASC, пересекает вторично данную окружность в точке D. Докажите, что CD = CB.

Задача 6: Можно ли расставить 100 целых чисел по кругу так, чтобы для любого числа n от 1 до 100 среди расставленных чисел нашлись бы три последовательных числа, сумма которых равна n?

Задача 7: Каждой точке координатной плоскости поставлено в соответствие некоторое число. Известно, что для любого квадрата со сторонами, параллельными осям координат, сумма чисел, соответствующих его вершинам равна нулю. Докажите, что все числа равны нулю.

Задача 8: В клетках прямоугольной таблицы m × n записаны числа так, как показано на рисунке. Найдите сумму всех чисел в таблице.

Задача 9: Рассмотрим набор из 1994 действительных чисел, не больших 100, удовлетворяющий условию: как бы ни разбивать эти числа на две непустые группы, сумма чисел хотя бы в одной из групп будет не больше 100. Найдите наибольшую возможную сумму чисел в таком наборе.

Задача 10: Пятнадцать спичек лежат в ряд. Спички собираются в группы, состоящие из одной или более спичек. За один ход можно переместить любую отдельно лежащую спичку в группу, перескакивая ровно через 3 спички, лежащие отдельно или в группах. Соберите спички в пять групп по три в каждой.