Задача 1: Докажите, что произведение всех попарных разностей четырех целых чисел делится на 12.

Задача 2: Докажите, что при всех n > 1 полосу 4 × 3n можно выложить уголками вида как прочную доску.

Задача 3: За круглым столом сидят рыцари и лжецы – всего 1995 человек. Каждый из них сказал: «Все, кроме, может быть, соседей моих соседей – лжецы". Сколько рыцарей может оказаться за столом? (Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут).

Задача 4: На доске выписано 10 чисел, среди которых, возможно, есть равные. Оказалось, что среднее арифметическое любых трех из этих чисел уже есть среди выписанных. Докажите, что все числа равны.

Задача 5: На сторонах CD и DA параллелограмма ABCD взяты соответственно точки E и F. Пусть K – точка пересечения отрезков AE и CF. Докажите, что если площади треугольников AKF и CKE равны, то точка K лежит на диагонали BD.

Задача 6:

Задача 7: На доске написана цифра 7. Двое играют в следующую игру: они по очереди приписывают по цифре слева или справа (по своему усмотрению) к написанному на доске числу. Выигрывает тот, после хода которого на доске написан полный квадрат. Докажите, что у второго игрока нет выигрышной стратегии.

Задача 8:

Задача 9:

Задача 10: