Задача 1: Прямоугольник mn (m,n > 4) выложен уголками вида

. При этом оказалось, что уголки не образовали ни одного прямоугольника меньшей площади. Найдите все возможные пары значений m и n.

Задача 2: Многочлен n-й степени имеет ровно n вещественных корней (с учетом кратности). Докажите, что для всех x (P′(x))² ≥ P″(x).

Задача 3: Вдоль бесконечной дороги стоят деревья, на одном из которых сидят 1995 воробьев, на остальных деревьях воробьев вначале нет. Раз в минуту какие-либо два воробья, сидящие на одном дереве, перелетают на соседние деревья в противоположных направлениях. Воробьи начинают чирикать в тот момент, когда на каждом дереве сидит не более одного воробья. Опишите все возможные распределения воробьев по деревьям в тот момент, когда воробьи начинают чирикать.

Задача 4: Около треугольника ABC описана окружность  ω . На стороне AB взята точка M. Окружность  ω ′ касается изнутри окружности и касается отрезков BM и MC в точках P и Q. Докажите, что прямая PQ проходит через центр окружности, вписанной в треугольник ABC.

Задача 5: Докажите, что в десятичной записи числа встретятся подряд цифры 1,9,9,5.

Задача 6: Найдите все натуральные n такие, что каждое число, составленное из (n – 1)-й единицы и одной семерки, является простым.

Задача 7: На сторонах AB, BC и CA треугольника ABC взяты соответственно точки C′, A′ и B′ так, что отрезки AA′, BB′ и CC′ пересекаются в точке K. Докажите, что A′K + B′K + C′K <  max AB,BC,CA.

Задача 8: Найдите наименьшую возможную длину простой замкнутой ломаной, имеющей по крайней мере по одной общей точке с каждой гранью единичного куба.

Задача 9: Найдите все последовательности (x_n) такие, что при всех x_n =  sin x_n + 1 при всех n ≥ 1.

Задача 10: Сумма неотрицательных чисел a, b, c, d и e равна единице, S =  max a + b,b + c,c + d,d + e. Найдите наименьшее возможное значение S.