|
Задачная база >> Соревнования всероссийского уровня >> Всероссийский фестиваль юных математиков >> X, 1995 >> Второй тур. Высшая лига. | Показать решения |
|
Десятый Российский Фестиваль Юных Математиков. Адлер-99. Второй тур. Высшая лига. |
|
Задача 1: Докажите, что для любого натурального n ≥ 3 существуют арифметическая прогрессия a1,a2, … an и геометрическая прогрессия b1,b2, … bn, состоящие из натуральных чисел, такие, что b1 < a1 < b1 < … < bn < an.
Задача 2: Найдите минимальный радиус бесконечного кругового цилиндра, который содержит правильный октаэдр со стороной a.
Задача 3: В теннисном клубе n теннисистов a1, a2, …, an. Для участия в парных состязаниях они образовали n пар K1, K2, …, Kn. Известно, что среди этих пар есть пара (ai,aj) тогда и только тогда, когда в парах Ki и Kj есть один общий теннисист. Докажите, что каждый теннисист участвует ровно в двух парах.
Задача 4: Можно ли квадрат со стороной 5 расположить на координатной плоскости так, что он покроет 21 целочисленную точку (квадрат с границей).
Задача 5: Найдите все натуральные n, для которых существует целое m такое, что m² + 9 делится на 2ⁿ – 1.
Задача 6: Найдите все натуральные n ≥ 3 такие, что наибольшее число точек с попарными расстояниями, большими 1, расположенных внутри или на границе правильного n-угольника со стороной 1, равно n – 1.
Задача 7: Рассмотрим наборы длины n, состоящие из 0 и 1. Назовем расстоянием d(M,N) между двумя такими наборами M и N число позиций, в которых наборы не совпадают. Докажите, что если для трех наборов A, B, C d(A,B) = d(B,C) = d(C,A) = R, то существует набор D, для которого d(A,D) = d(B,D) = d(C,D) = R/2.
Задача 8: Докажите, что при n ≥ 3 для любого набора чисел
0 ≤ a1 ≤ a2 ≤ … ≤ an выполняется неравенство
.
Задача 9: Даны две неравные окружности, расположенные одна вне другой. Пусть точка O – точка пересечения их общих внешних касательных. Через O проводится прямая, пересекающая окружности в точках A,B,C,D (точки перечислены в порядке удаления от O). Из точек A и D проводятся по две касательные к окружностям, на которых они не лежат. Эти касательные высекают в окружностях по криволинейному треугольнику. Докажите, что радиусы окружностей, вписанных в эти криволинейные треугольники, равны.
Задача 10: Найдите все функции f: R → R , удовлетворяющие уравнению f(x²) – f(y²) = (x + y)(f(x) – f(y)) для всех x,y ∈ R .
Задачная база >> Соревнования всероссийского уровня >> Всероссийский фестиваль юных математиков >> X, 1995 >> Второй тур. Высшая лига. | Показать решения |