Задача 1: Даны последовательности: a₀ = 1, b₀ = 0, a_n + 1 = 100 a_n = 100a_n – 1 – b_n, b_n + 1 = 100b_n + a_n для любого целого положительного n. Найдите наименьшее натуральное k такое, что a_k < b_k.

Задача 2: Для множества A, состоящего из натуральных чисел, обозначим через n_A количество троек (x,y,z) элементов A таких, что x < y и x + y = z. Найдите максимальное значение n_A для множеств A, содержащих семь различных элементов.

Задача 3: Верно ли, что у всякого многогранника найдутся три ребра, из которых можно составить треугольник?

Задача 4: На плоскости даны три круга с центрами O₁, O₂, O₃ и радиусами r₁, r₂, r₃, имеющие общую точку. Докажите, что три круга с радиусами r₁, r₂, r₃ и с центрами O′₁, O′₂, O′₃ такие, что |O′₁O′₂| ≤ |O₁O₂|, |O′₂O′₃| ≤ |O₂O₃|, |O′₃O′₁ ≤ |O₃O₁| тоже имеют общую точку.

Задача 5: Найдите все тройки натуральных чисел (p,m,n), удовлетворяющие уравнению m³ – p³ = n², где p – простое, а n не делится на p и на 3.

6. В графе 100 вершин и 525 ребер. Докажите, что в нем найдется цикл длины 4. 7. Найдите все функции , удовлетворяющие уравнению для всех . 8. Даны действительных чисел , они записываются в произвольном порядке по кругу, после чего над ними поочередно выполняются две операции: A - одно из чисел вычеркивается; B - к каждому из чисел прибавляется предыдущее (по часовой стрелке). Эти операции повторяются до тех пор, пока после выполнения операций не останется одно число. Докажите, что наибольшее значение этого числа равно . 9. Два игрока играют на доске m?n в следующую игру. У них есть белый и черный король соответственно, стоящие в противоположных углах доски. Они передвигают своих королей (по правилам шахмат) поочередно так, чтобы расстояние между центрами клеток, на которых стоят короли, уменьшалось (королям разрешается занимать соседние клетки). Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре? 10. Через точку M, лежащую вне окружности S, проведены три луча l1, l2, l3 (l2 лежит между l1 и l3). l1 пересекает S последовательно в точках A и B. Окружности и с центрами O1 и O2, лежащими на l2 (O1 лежит между O2 и M), касаются хорды AB в точках C и D соответственно и окружности S внутренним образом, а также пересекают l3. Обозначим через E вторую, считая от M, точку пересечения l3 и , а через F - первую, считая от M, точку пересечения l3 и , причем известно, что точки E и F не совпадают. Докажите, что ?AEC= ?BFD.