Задача 1: Для отмывания денег N банками была разработана схема перевода финансов, по которой каждый из этих банков был связан взаимными переводами грязных денег с K > 2 из этих N банков. В связи с предстоящей проверкой схему было решено изменить. Каждому банку было предложено прекратить такие связи ровно с двумя банками. При любых ли N и K это возможно?

Задача 2: Можно ли сложить какой-нибудь прямоугольник из набора, содержащего четырехклеточные полоски и нечетное число четырехклеточных уголков?

Задача 3: Квадратные трехчлены P(x) и Q(x) имеют корни. Докажите, что по крайней мере один из трехчленов P(x) ± Q(x) также имеет корни.

Задача 4: Имеется таблица 4 × 4, в каждой клетке которой стоит 0 или 1. Каждую минуту с ней проделывается следующая операция: для каждой клетки считается сумма чисел в соседних с ней по сторонам клетках и одновременно число в каждой клетке заменяется на 0, если соответствующая сумма четна, и на 1 – если нет. Докажите, что через 6 минут какая-нибудь расстановка повторится дважды.

Задача 5: На координатной плоскости произвольно выбираются n целочисленных точек. Пусть k – количество ненулевых отрезков с концами в этих точках и целочисленной серединой. При каких n можно гарантировать неравенство k > n?

Задача 6: Дано шесть трехэлементных подмножеств конечного множества X. Докажите, что множество X можно окрасить в две краски так, что каждое выбранное трехэлементное подмножество будет иметь точки разных цветов.

Задача 7: Положительные числа a, b и c таковы, что ab + bc + ca ≤ 3abc. Докажите, что a + b + c ≤ a³ + b³ + c³.

Задача 8: Фигура является объединением двух единичных квадратов с общим центром. Какие значения может принимать отношение площади этой фигуры к ее периметру?

Задача 9: Найдите все пары целых чисел a и b такие, что оба числа и являются целыми.

Задача 10: Пусть O – точка пересечения диагоналей вписанного четырехугольника ABCD, а K – точка, симметричная O относительно прямой BC. Оказалось, что K лежит на описанной окружности ABCD. Докажите, что  ∠ AKO =  ∠ OKD.