ЗАБА Математические олимпиады и олимпиадные задачи
Задачная база >> Соревнования всероссийского уровня >> Всероссийский фестиваль юных математиков >> X, 1995 >> Четвёртый тур. Высшая лига.Показать решения
Десятый Российский Фестиваль Юных Математиков. Адлер-99. Четвёртый тур. Высшая лига.

Задача 1: Для отмывания денег N банками была разработана схема перевода финансов, по которой каждый из этих банков был связан взаимными переводами грязных денег с K > 2 из этих N банков. В связи с предстоящей проверкой схему было решено изменить. Каждому банку было предложено прекратить такие связи ровно с двумя банками. При любых ли N и K это возможно?

Задача 2: Известно, что x, y и  – натуральные числа. Докажите, что x² + y² + 6 – куб натурального числа.

Задача 3: В треугольнике ABC AA3, BB3 и CC3 три чевианы,  ω  – вписанная окружность. Пусть AO – точка касания  ω  со стороной BC, а A1 и A2 – точки пересечения AA3 с  ω , причем A1 лежит между A и A2. Тройки точек BO, B1, B2 и CO, C1, C2 определяются аналогично. Докажите, что точки BO, B1 и точка пересечения прямых AOA2 и COC2 лежат на одной прямой.

Задача 4: Имеется таблица 4 × 4, в каждой клетке которой стоит 0 или 1. Каждую минуту с ней проделывается следующая операция: для каждой клетки считается сумма чисел в соседних с ней по сторонам клетках и одновременно число в каждой клетке заменяется на 0, если соответствующая сумма четна, и на 1 - если нет. Докажите, что через 6 минут какая-нибудь расстановка повторится дважды.

Задача 5: Дан многочлен P(x) с целыми коэффициентами такой, что P( – 1) = P(1). Докажите, что существуют такие многочлены A(x) и B(x) с целыми коэффициентами, что при всех целых x выполняется равенство: P(x) = A(x² – 1) + x(x² – 1)B(x² – 1).

Задача 6: На ребрах AB, BC, CD, DA параллелипипеда ABCDA1B1C1D1 произвольно выбраны точки K, L, M и N. Докажите, что центры сфер, описанных около тетраэдров A1AKN, B1BKL, C1CLM, D1DMN являются вершинами параллелограмма.

Задача 7: Положительные числа a, b и c таковы, что ab + bc + ca ≤ 3abc. Докажите, что a + b + c ≤ a³ + b³ + c³.

Задача 8: На плоскости дан центрально-симметричный выпуклый многоугольник F. Докажите, что к нему можно приложить шесть многоугольников F1, …, F6, получаемых из F параллельными переносами так, что:

1) каждая из пар F и F1, FиF2, …, F и F6 имеет общую точку и не перекрывается;

2) фигуры F1, …, F6 попарно не перекрываются.

Задача 9: Пусть A – множество, состоящее из N различных остатков по модулю N². Докажите, что существует множество B из N остатков по модулю N² такое, что множество A + B = a + b|a ∈ A,b ∈ B состоит по крайней мере из половины всех остатков по модулю N².

Задача 10: Найдите наибольшее действительное число  α , для которого существует бесконечная последовательность a1, a2, …, an натуральных чисел, удовлетворяющая следующим условиям:

(a) для каждого натурального n an > 1999ⁿ;

(b) для каждого n ≥ 2 не превосходит наибольшего общего делителя множества чисел вида ai + aj, где i + j = n.



Задачная база >> Соревнования всероссийского уровня >> Всероссийский фестиваль юных математиков >> X, 1995 >> Четвёртый тур. Высшая лига.Показать решения