Задача 1:

Задача 2: Длины сторон треугольника – факториалы натуральных чисел. Докажите, что этот треугольник равнобедренный.

Решение: Предположим противное; тогда a! > b! > c! – длины сторон треугольника. Но нетрудно убедиться, что тогда a! ≥ b! + c!, т.е. не выполняется неравенство треугольника.

Задача 3: Докажите, что при всех действительных x выполнено неравенство: x² + x cos x + x² sin x + 1/2 > 0.

Решение: Запишем левую часть в виде квадратного трехчлена относительно x: x²(1 +  sin x) + x cos x + ½ . Заметим, что если  sin x =  – 1, то наше неравенство выполняется. В остальных же случаях дискриминант нашего квадратного трехчлена отрицателен.

Задача 4: На стороне AB равностороннего треугольника ABC взята точка A₁. Точка A₂ – проекция точки A₁ на сторону BC, точка A₃ – проекция A₂ на сторону C_A, точка A₄ – проекция A₃ на сторону AB, и т.д. Найдите все положения точки A₁, при которых A₉₄ = A₁.

Задача 5: Дана окружность с центром S. Хорда AB не проходит через S. C – внутренняя точка AB. Окружность, описанная вокруг треугольника ASC, пересекает вторично данную окружность в точке D. Докажите, что CD = CB.

Решение: Используя свойства вписанных углов, получаем:  ∠ ABD =  ∠ ASD/2 =  =  ∠ ACD/2. Но  ∠ ACD =  ∠ CBD +  ∠ CDB, а значит,  ∠ CBD =  ∠ CDB, т.е. CD = CB.

Задача 6: Можно ли расставить 100 целых чисел по кругу так, чтобы для любого числа n от 1 до 100 среди расставленных чисел нашлись бы три последовательных числа, сумма которых равна n?

Решение: Просуммировав все числа, стоящие на окружности, тройками подряд идущих чисел, получим 5050. Но при этом каждое число мы учитывали трижды, 5050 на три не делится.

Задача 7: Каждой точке координатной плоскости поставлено в соответствие некоторое число. Известно, что для любого квадрата со сторонами, параллельными осям координат, сумма чисел, соответствующих его вершинам равна нулю. Докажите, что все числа равны нулю.

Решение: Разбив какой-нибудь квадрат на 4 меньших, убеждаемся, что сумма двух чисел, стоящих в концах диагонали любого квадрата, должна быть равна нулю. Отсюда нетрудно получить, что каждое число равно нулю.

Задача 8: В клетках прямоугольной таблицы m × n записаны числа так, как показано на рисунке. Найдите сумму всех чисел в таблице.

Решение: Ответ: .

Задача 9: Рассмотрим набор из 1994 действительных чисел, не больших 100, удовлетворяющий условию: как бы ни разбивать эти числа на две непустые группы, сумма чисел хотя бы в одной из групп будет не больше 100. Найдите наибольшую возможную сумму чисел в таком наборе.

Задача 10: Пятнадцать спичек лежат в ряд. Спички собираются в группы, состоящие из одной или более спичек. За один ход можно переместить любую отдельно лежащую спичку в группу, перескакивая ровно через 3 спички, лежащие отдельно или в группах. Соберите спички в пять групп по три в каждой.